接下来我们通过分析一个中间有孔的平板零件来了解四边形和三角形单元的特性。然后将计算结果和解析解比较。

 

 

 

问题的解析解

应力集中系数（SCF）定义为：SCF=最大应力/名义应力

本例中名义应力=F/A=10,000N/(1000mm*10mm)=1N/mm²

对于无限大的板来说，SCF=3

因此，最大应力=SCF＊名义应力=3N/mm2

 

 

 

首先研究四边形和三角形单元对同一模型结果的差异。整体单元尺寸为100。

所有模型使用相同的边界条件：约束模型左侧边上节点的平动自由度（x-, y-, z-的位移为0），而右侧边上的节点受到x方向的力（合力为10000N）。

 

为了更好地控制圆孔附近单元的分布模式，我们在圆孔附近创建了两个叫做“washer”的特征（用半径为45mm和84mm的圆将圆孔附近的表面切开）。

 

下图显示的是最大主应力云图。注意缺省情况下计算输出的是壳单元和实体单元中心点的应力，换而言之，这些应力值并不是圆孔处的应力，为了更好地解析圆孔处的应力，可以用双线性插值的方法得到单元节点处的应力值。（在HyperMesh中激活 Control cards > Global output request > Stress > Location: Corner）

 

四边形单元和三角形单元的影响

 

 

 

模型1：圆孔处用16个三角形单元离散，单元节点的最大主应力值为2.32 N/mm2（理论值为3N/mm2）

 

 

 

模型2：圆孔处用16个四边形单元离散，单元节点的最大主应力值为2.47N/mm2（理论值为3N/mm2）

 

尽管两个结果数值和理论值3 N/mm2的差距都很大，但是显而易见，四边形单元的结果（误差17%）比三角形单元的结果（误差23%）更好。总的来说，两个模型对于评估圆孔周围的应力大小来说都不太恰当。

 

此外，更重要是通过这个例子明白：有限元软件并不能告诉用户划分的网格是否能够接受，这个应该由CAE工程师来决定。

 

单元数量对结果的影响

下面我们将讨论圆孔处网格大小（单元数量）对结果的影响。

 

 

 

模型3：圆孔处只有4个四边形单元，节点处最大主应力为1.60N/mm2 (理论值为3N/mm2 ）

 

 

 

模型4：圆孔处有8个四边形单元，节点处最大主应力为2.06N/mm2 (理论值为3N/mm2）

 

 

 

模型5：圆孔处有16个四边形单元，节点处最大主应力为2.47N/mm2 (理论值为3N/mm2）

 

 

 

模型6：圆孔处有64个四边形单元，节点处最大主应力为3.02N/mm2 (理论值为3N/mm2）

 

 

 

我们一直在研究线性单元（节点在单元角点处），Dieter Pahr教授(澳大利亚Vienna大学)在他的论文中指出线性三角形、四边形单元和二阶单元的差别，他也是以带孔平板模型为例。下面的图片就是出自其课程讲义：

“建模、验证以及有限元结果的评估”。

 

 

 

上图显示线性三角形和四边形单元、二阶三角形和四边形单元的von Mises应力值。纵轴表示与理论结果的误差（%），横轴代表1/4圆孔的单元数量。

 

 

 

本图显示线性三角形和四边形单元、二阶三角形和四边形单元计算出的变形值。

 

既然这样，那我们为什么不创建尽可能多的单元和节点？为什么通常我们只在重要部位的圆孔处创建12-16个单元？

 

那是因为模型的求解时间和自由度的数量的平方成正比。而且由于计算机图形显卡的显存限制，难以处理大规模的模型。因此，分析人员必须在现有硬件条件下寻找到计算精度与单元尺寸（自由度数量）之间的最佳平衡。

 

规则是如何确定的？

经常会从客户那里得到一些指导原则，关于圆孔和倒角处的使用多少单元、螺栓连接和焊接处的单元形式等，他们是如何确定这些规则的呢？

 

其实这些都是通过像上面的简单练习一样来确定的。将不同单元划分方案的计算结果和已知理论值比较，和理论值接近并且求解时间可以接受的方案就是最合理的。

对于圆孔处单元的数量，大多数行业都遵循这样的规则：

最少单元数量：

主要部位的圆孔或倒角处使用12个单元

一般部位的圆孔或倒角处使用6个单元