HyperWorks进阶教程：OptiStruct多自由度系统动力学（动力学方程和边界条件）

4.3.1 动力学方程

有限元分析中的结构均为多自由度系统，OptiStruct预处理模型后，生成的是矩阵形式的质量矩阵 M、阻尼矩阵C及刚度矩阵K。前述的一些振动相关概念，包括固有频率、频率比、动力放大系数、各类阻尼等，在多自由度系统中具有相同的含义。多自由度系统的时域动力学方程为对应的频域动力学方程为

Mü(±) +Cù (t)+Ku(t)=f(t)

SMu(s)+sCu(s)+Ku(s)=f(s)式中，u={u;li=1,2,|为位移列向量,f= {fli=1,2,…为外激励列向量。

在单自由度系统的基础上，多自由度系统增加了“模态”的概念。所谓模态，可以理解为结构在发生动力学运动时出现的整体协同运动模式。它具备整体性、模式性、协同性、独立性几个特点。整体结构的所有自由度是相互关联的，且有固定的运动模式。各个运动模式之间既具备独立的运动特征，又通过相互协调作用来满足外激励及初始条件。

引入模态振型列向量,及对应的模态坐标q;，可以将多自由度系统的位移向量"变换到模态坐标q;。

u()=∑4g,(t)，u(s)=∑49,(s)关于模态振型向量4,的具体推导过程将在下一章介绍。在模态空间中，动力学方程变为

m,y:(1)+ ℃,9,(4)+龙,q(1)=厂(1)

msq(s)+cs9(s)+%9(s)=广(s)

式中，q,为模态坐标;而,为模态质量;c,为模态阻尼;%,为模态刚度;,为模态外激励。式(4-17)与式(4-18)为实模态解耦的动力学方程，与单自由度系统的动力学方程式(4-3)与式(4-6)是完全一致的。因此，每个模态坐标q,即为一个单自由度系统，具有各自的固有频率、阻尼比、动力放大系数等动力学特性参数。

4.3.2 边界条件 SPC/SPCD

动力学分析中外激励不仅有直接的外力作用，还有强迫位移、强迫速度、强迫加速度形式的激励，有时也称作基础激励，采用 SPC/SPCD定义。在这些动力学边界条件/基础激励的作用下，有限元模型的整体质量矩阵M、整体阻尼矩阵C及整体刚度矩阵K发生了改变，并产生了等效的外激励载荷。

有限元模型中包含 SPC/SPCD 边界条件时，动力学方程按边界自由度进行分块。时域动力学方程为

频域动力学方程为

式中，下标a表示 analysis,",为分析自由度集;b表示 boundany,",为边界自由度集;f,为非约束边界上的外载荷;人为边界约束边界上的外载荷。在 0iStruct 中通常被称为约束反力，用 SPCFSingle Point Constraint Force)表示。

求解有限元动力学问题时，式(4-19)、式(4-20)的第2行将被消去，

因此，SPC/SPCD的边界约束减少了运动系统的自由度，缩减后的整体质量矩阵M=M.，整体阻尼矩阵C=C，整体刚度矩阵K=K。同时，外载荷f变为两部分，即原外力载荷，以及约束边界的内力载荷f.。

为便于说明，不论是动力学约束边界还是直接的外力作用，在后续动力学章节中将统称为外激励而不严格区分。而表达式中的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K，一般指代预处理SPC/SPCD 完毕后，有限元模型仅包含分析自由度的情况。

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